Дисципліна "Вища математика"
Практичне заняття 1. Комплексні числа
1. Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
2 Дії над комплексними числами, заданими в тригонометричній та показникові й формі.
3. Використання комплексних чисел під час розв’язання прикладних задач.
Мета: закріпити навички знаходження суми, різниці, добутку, частки комплексних чисел, записаних в алгебраїчній формі.
Обладнання і матеріали: підручник, програма-обчислювач « komplex» на ПК.
Тривалість – 2 години.
Література : Л.1.с. 109...112.
Методичні рекомендації. Додавання, віднімання, множення комплексних чисел, заданих в алгебраїчній формі виконують за правилами відповідних дій над многочленами. Щоб поділити два комплексних числа, заданих в алгебраїчній формі, треба виконати додаткове множення і діленого , і дільника на комплексне число, спряжене дільнику.икористати опорний конспект та підручник.
І. Завдання 1 Записати загальний вигляд комплексного числа в алгебраїчній формі Z =
Завдання 2. Записати формули дій над комплексними числами у алгебраїчній формі:
Z1=a+bi, Z2=c+di.
Z1+Z2
Z1-Z2=
Z1Z2=
Z1/Z2 =
Спряжені числа до
Z1 =
Z2. =
Формула добутку спряжених чисел
Завдання 3. Виконати дії над комплексними числами
Z1=N+5i ; Z2=-7-Ni.
Виконання.
Z1+Z2=
Z1-Z2=
Z1Z2=
Z2 помножити на спряжене
Z1/Z2 =
ІІ. Завдання 4. Записати число z2=3N-4N і у тригонометричній та показниковій формі.
Завдання 5. Знайти добуток і частку чисел Z1 та Z2 , значення Z2 у другому степені і кубічний корінь із Z1 у тригонометричній формі.
Z1=N(cos300+isin300)
Z2=N(cos600+isin600)
Методичні рекомендації. Щоб перемножити два комплексних числа в тригонометричній формі, треба їх модулі перемножити, а аргументи додати.
Щоб поділити два комплексних числа в тригонометричній формі, треба їх модулі поділити, а аргументи відняти. При піднесенні до степеня комплексного числа, заданого в тригонометричній формі, треба модуль числа піднести до цього степеня, а аргумент помножити на показник степеня. Корінь п-го степеня з комплексного числа, записаного в тригонометричній формі, знаходиться за формулою:
Виконання.
Z1Z2=
Z1/Z2 =
Z22=
Завдання6. Записати дані та результати дій із завдання 3 у показниковій формі.
Z1Z2=
Z1/Z2 =
z12=
ІІІ. Завдання7. Розв’язати рівняння
100х2+N2 = 0
Завдання 8. Розв’язати рівняння
Висновки:
Дата___________ Оцінка_____________Викладач___________
Практичне заняття 2. Елементи лінійної алгебри
1. Обчислення визначників другого і третього порядків.
2. Розв’язування систем лінійних рівнянь основними
методами: методом Гаусса, за формулами Крамера, оберненої матриці на ПК.
Мета: навчитися обчислювати визначники другого і третього порядку та розв’язувати системи.
Тривалість – 2 години.
Матеріали та обладнання: калькулятор, презентація «СЛР» на ПК
Література: Л.1 с.81…93
Завдання 1. Обчислити визначник другого пoрядку: D=
Завдання 2. Обчислити визначник третього порядку: D=
знак знак
Завдання 3. Розв’язати за формулами Крамера систему:
Відповідь:х= у=
Завдання 4. Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера:
.
Відповідь х= у= z=
Завдання 7. Розкласти визначник D по елементах першого рядку .
Розкласти визначник по елементах третього стовпця.
Методичні рекомендації. Кожний визначник третього порядку можна подати як суму добутків елементів одного будь-якого рядку (або стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.
D==
Завдання 8. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауcса: 
Виконання:
Розв’язати на ПК методом оберненої матриці
N=3k
(1,1,1)
N=3k+1
(1; 2; -1).
N=3k+2
(1; -2; 5).
Висновки
Дата___________ Оцінка_____________Викладач___________
Практичне заняття 3 Елементи векторної алгебри
1.Дії над векторами.
2 Застосування скалярного,векторного
та мішаного добутків до розв’язання прикладних задач з
фізики, теоретичної механіки,електротехніки.
Тривалість – 2 години.
Мета: навчитися обчислювати скалярний,векторний
та мішаний добутки, застосовувати на практиці.
Матеріали та обладнання: калькулятор
Література: Л.1 с.136…138
Вправи для актуалізації опорних знань
Завдання1. .Обчисліть визначники:
1.  . 2 
.
.
Завдання2.. Дано точки  . Знайдіть:
координати, довжину, напрямні косинуси вектора  .
Завдання3. Вектори a і b утворюють кут C = 60o. Знаючи, що |a| =2,|b| =5 , обчисліть скалярний добуток та довжину вектора:
a)скалярний добуток та довжину вектора
 ;
б)  .
Завдання4. Дано вектори  і  .
Знайдіть:
а) скалярний добуток  ;
б) векторний добуток
.
Завдання 5.Обчислити, яку роботу виконає сила f={3; -2; -5}, якщо її точка переміщується за вектором a =АВ, A(2; -3; 5}, B(3; -2; -1).
Завдання 6.Сила F={3; 2; -4} приложена до точки А(2; -1; 1). Визначити момент сили відносно початку координат.
Завдання 7. Обчисліть об’єм піраміди, вершини якої містяться в точках 
Висновки
Дата___________ Оцінка_____________Викладач___________
Практичне заняття 4 Аналітична геометрія
1.Застосування рівнянь прямих до дослідження їх взаємного розташування, кута між ними.
2.Застосування властивостей кривих другого порядку до розв’язання прикладних задач.
Мета: навчитися досліджувати рівняння прямих та кривих другого порядку.
Матеріали та обладнання: калькулятор
Тривалість – 2 години.
Література: Л.1.с.141…160
Методичні рекомендації.
Величина кута між прямими y = kx + b та y = k1 x + b1 задається формулою:
tg j =  .
Рівність 1 + k1 k = 0 є необхідна та достатня умова перпендикулярності прямих.
Якщо A1/A2 = B1/B2 = C1/C2. , то прямі A1 x + B1 y + C1= 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 співпадають.
Якщо A1/A2 = B1/B2 и B1/B2 ¹ C1/C2; то прямі паралельні.
Якщо A1/A2 ¹ B1/B2, то прямі перетинаються.
Завдання 1. Визначити, як розташовані прямі:
а)6х-8у=5, 2х+5у=7;
б)7х-2у=4, 6у-21х=-6;
в) х+4у=1, 5х+20у=10;
г)у=5х-1, у=2х+3;
д)у=6х+4; у=6х+1?
Завдання 2.Знайти кут між цими прямими.
а)
б)
в)
г)
д)
Завдання 3. При якому значення параметра t, які задані рівняннями 6tx-16y+4 = 0 и (1+t)x-2ty = 0 паралельні?
Методичні рекомендації. Загальне рівняння кривої ІІ порядка має вигляд:
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0.
Рівняння кола з центром у точці С(a, b) и радиусом, рівним R:
(x - a)2 + (y - b)2 = R2.
 Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від кожної з яких є стала величина,яка більше міжфокусної відстані та дорівнює 2а.
Канонічне рівняння еліпса
x2/a2 + y2/a2 = 1.
a, b – півосі, c=  -півфокусна відстань, ексцентриситет c/a = e < 1.
Відстані F1M та F2M, де М(x, y) - точка елипса до його фокусів,є
фокальні радіуси-вектори та визначаються формулами:
r1 = a - ex, r2 = a +ex.
Якщо a < b, то фокуси знаходятся на осі Оy, c= , e = c/b,
r1 = b + ex, r2 = b - ex.
Якщо a = b, то елипс є колом радіуса a з центром у початку координат..
Гиперболой називається множина точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких є стала величина, яка менше міжфокусної відстані та дорівнює 2а.
Канонічне рівняння гиперболи:
x2/a2 - y2/b2 = 1. (2.11)
Точки A (a,0) и A (-a,0) – вершини гіперболи. Параметр a називається суттєвою піввіссю, b - уявною піввіссю. Параметр c= - пів фокусна відстань. Відношення c/a = e >1 называется ексцентриситетом гиперболи. Прямі y = ± b/a x називаються асимптотами гиперболи. Фокальні радіуси
Гипербола, у якої a = b, називаєтся равносторонньою, її рівняння x2 - y2 = a 2, а рівняння асимптот y = ± x. Гіперболи x2/a2 - y2/b2 = 1 и
y2/b2 - x2/a2 = 1 називаются спряженими.
Параболою называється множина точок, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і данної прямої (директриси).
Каноничне рівняння параболи має два види:
1) y2 = 2рx - парабола симетрична відносно осі Оx.
2) x2 = 2рy - парабола симетрична відносно осі симметрична Оy.
Парабола y 2 = 2рx має фокус F( р/2,0) та директрису x = - р/2, фокальний радиус-вектор точки M(x,y) на ній r = x+ р/2.
Парабола x2 =2рy має фокус F(0, р/2) та директрису y = - р/2; фокальний радіус-вектор точки M(x,y) параболи дорівнює r = y + р/2.
Задача 5.. Знайти координати фокусів, довжини осей, ексцентриситет еліпса 16х2 + 25у2 =3600.
Задача 6 Знайти координати фокусів, довжини осей, ексцентриситет, рівняння асимптот гіперболи 144х2 – 25у2 =3600.
Задача 7.. Знайти координати фокусу, рівняння директриси парабол:
а) у2=4х
б) у2=-8х
в)х2=12у
г)х2=-16у.
Висновки:
Дата___________ Оцінка_____________Викладач___________
|