Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією.

Визначення функції  Вивчаючи те чи інше явище, ми, як правило, оперуємо кількома величинами, які пов'язані між собою так, що зміна деяких з них приводить до зміни інших. Такий взаємозв'язок у математиці виражається за допомогою функції..Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або периметр.

Якщо кожному числу х з деякої числової множини X за певним правилом поставлене у відповідність єдине число у, то кажуть, що у є функція від х і пишуть у = f(х), х Х. Це означення належить М.І. Лобачевському і Л. Діріхле. Множина X називається областю визначення функції. Множина Y називається множиною значень функції.

 Цей термін вперше ввів Г. Лейбніц.
Приклади.1. Нехай електричне коло складається з джерела постійної напруги U і реостата R. При зміні опору й змінюватиметься сила струму. Напруга U — величина стала (в даному колі), а опір R і струм І — змінні, причому І змінюється залежно від зміни R за законом Ома: І = U / R, тобто сила струму І є функція опору R.
2. Під час вільного падіння тіла пройдений шлях S залежить від зміни часу t. Зв'язок між змінними величинами S і t задається формулою S= g t²/2

Область визначення і множина значень. Нехай задано дві непорожні множини X і Y з елементами х X і у Y і нехай перетворення f переводить х в у. Тоді це перетворення f (правило, закон, відповідність, відображення, залежність) називають функцією і пишуть f:X->Y(X та Y множини деяких елементів, не обов'язково числові).
У цьому випадку, як і у випадку числових множин X та Y, ці множини називають областю визначення та множиною значень функції. Залежно від природи множини X та Y для функції f вживають різні назви. Так, якщо X та Y — множини дійсних чисел, то кажуть, що f — дійсна функція дійсного аргументу.
1.Способи завдання функцій
Щоб задати функцію у = f (х), треба вказати її область визначення X, множину значень Y і правило f, за яким для довільного числа х X можна знайти відповідне йому число у Y.
Основні способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.
При аналітичному способі задання функції відповідність між аргументом і функцією задається формулою (аналітичним виразом), де зазначено, які дії потрібно виконати над значенням аргументу та сталими числами, щоб дістати відповідне значення функції. Якщо при цьому область визначення не вказується, то під останньою розуміють область існування функції — множину всіх дійсних значень аргументу, для яких аналітичний вираз має зміст.

Приклад.Знайти області визначення функції: у = n! ставить у відповідність кожному натуральному числу п число у = n!. Наприклад, якщо n = 3, то у = 3! = 1 • 2 • 3 = 6, якщо n = 5, то у = 5! = 1  5 = 120. Отже, X = 0,1,2… Ці приклади показують, що областю існування функції можуть бути досить різноманітні множини: відрізок, кілька або навіть нескінченна кількість відрізків, дискретна множина точок тощо.
При графічному способі задання функції у = f (х) відповідність між змінними х і у задається графіком — множиною точок (х; у) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність у = f(x). Залежно від того, яку задано функцію, графік її може скла¬датись з однієї суцільної лінії, кількох ліній, дискретної множини точок площини тощо.
Графічним способом задання функції широко користуються при дослідженнях, пов'язаних з використанням таких самописних приладів, як барограф (для запису змін атмосферного тиску), осцилограф (для запису змін електричного струму або напруги), електрокардіограф (для запису електричних явищ, пов'язаних з діяльністю серця), термограф (для запису змін температури повітря) тощо.
Табличний спосіб задання функції у = f(x) полягає в тому, що відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:

Залежність у·= f(x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.

f(9) = 39, f(12) = 38.5,..., f(24) = 37.

D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.

E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати).

Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок пло­щини з координатами (x;f(x))

1. Знайдіть значення функції:

  у = f(x)   у точках 1; -1; 5;

Відповідь: а) f(1) =1, f(-1) = 1; f(3) =9;

2. Знайдіть область визначення функції:

 у = х² + х³;

Функція у = f(x) називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х₁ і х₂ з області визначення функції таких, що х₁ < х₂, виконується нерівність f(x₁) < f(x₂) і навпаки: із того, що f(x₁) < f(x₂) виконується нерівність х₁ < х₂.

Функція у = f(x) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х₁ і х₂ з області визначення функції та­ких, що х₁ < х₂, виконується нерівність f(x₁) > f(x₂) і навпаки: якщо у = f(x) — спадна, то із того, що f(x₁) > f(x₂), виконується нерівність х₁ < х₂.

2.Монотонність,  парність , непарність функцій.Ф-я f(х) наз. зростаючою,якщо для довільних точок х1 i х2 iз областi визначення f(х) таких із нерівності х2> х1 випливає нерівність ,f(х2)>)f(х1) . Ф-я f(х) наз. спадною, якщо для довільних точок х1 i х2 iз областi визначення f(х) таких із нерівності х2> х1 випливає нерівність ,f(х2)<)f(х1).Зростаюча і спадна функція наз строго монотонними функціями Зростаючі , спадні , незростаючі , неспадні функції називається монотонними.

Парність .Функція f(х) називається парною, якщо для х із області визначення функції f(-х)= f(х) .Графік парної функції симетричний відносно осі OY .Функція f(х) називається непарною, якщо для х із області визначення функції f(-х)= -f(х) . Графік непарної

функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 1. Чи парна функція f(x) = χ⁴ + χ² ?

Приклад 2. Чи парна функція f(x) = х² + х ?

Приклад 3. Чи непарна функція f(х) = x³ - x⁵?

Приклад 4. Чи непарна функція f(х) = х³ – х² ?

Періодичність Функція f(х) називається періодичною з періодом l, якщо для любих х із її області визначення справедливе рівняння f(х) = f(х l). Прикладом періодичних функцій є  функція: y=[x].

2. Які із поданих функцій1) у = х³ + 2х⁷;2) у = 3x² + х⁶; 3) у = х +1  є парними, а які — не­парними?