Вступ. Зусилля майже всякої людської діяльності спрямовані на те, щоб з найменшою витратою сил досягати найбільш вигідного в певному відношенні результату (найбільш економічного, найменш трудомісткого, найбільш продуктивного й т.п. ). Не тільки люди у своїй практичній діяльності прагнуть досягти оптимального результату, дія сил природи неухильно підкоряється принципу екстремальності: траєкторії світла й радіохвилі, руху маятників і планет, плин рідин і газів, клин журавлів, природний добір, форма мильної кульки та інше.
Задача Дідони.
Царівна Фінікії Дідона, рятуючись від свого брата, тирана Пігмаліона, відплила з рідного міста Тиру з невеликим загоном своїх прибічників. Було це, якщо вірити легенді, близько 825 року до н.е. Довго пливли царівна і її супутники по Середземному морю, поки не пристали до берега Африки. Жили в тих місцях нумідійці. Прибульці ним були ні до чого. Але Дідоні нікуди було відправитися, місце їй сподобалося, і царівна стала прохати нумідійського царя Ярба продати їй трохи землі. Бажаючи, мабуть, відбутися від наполегливої фінікіянки, Ярб заламав нечувану ціну за клаптик землі, розмір якого дорівнює одній бичачій шкурі. До його здивування і розчарування, Дідона прийняла цю знущальну пропозицію, розплатилася і відправилася відмірювати свою землю. Лише вона не стала розстилати шкуру на березі. Спочатку вона розрізала її так, що вийшов тонкий шкіряний ремінець, досить-таки довгий, і цим ремінцем оточила солідну ділянку, на якій і заснувала згодом величне місто Карфаген. Ярб був в люті: так, як його, мало кого обдурювали за всю історію людства. Але він був чесною людиною і додержав слова: земля залишилася за Дідоной. Ремінцем, що вийшов, Дідона охопила територію біля берегів. Виникає питання про те, як можна захопити максимальну площу. Завдання зводиться до знаходження екстремуму функціонала з граничними умовами, і при фіксованому параметрі (довжині), та точками а і b закріплення ланцюга. Рішенням є дуга кола, кінці якої не можна рухати по побережжю.
Зада́ча Дідо́ни — історично перша задача варіаційного числення, пов'язана з древньою легендою про заснування міста Карфагена.
1. Теорема Вейєрштрасcа
Неперервна на відрізку функція досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.
a. Якщо функція неперервна та монотонна на відрізку, то найбільше та найменше значення функції досягається на кінцях відрізку.b. Якщо функція y = f(x) неперервна на відрізку та має кінцеву кількість точок x1, x2, … xk у відрізку, де змінює характер монотонності, то перебором значень функції у цих точках та на кінцях х = а, y = b можна знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку.
- Найбільше та найменше значення функції на відрізку
Нехай дано функцію, яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. За теоремою Вейєрштраса , функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення. або на його кінцях.
|
СХЕМА ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО(НАЙМЕНШОГО) ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ НА ВІДРІЗКУ
Для неперервної на відрізку [a,b] та диференційованої функції y=f(x) на інтервалі (a,b) її найбільше(або найменше) значення досягається або в критичних точках або на кінцях відрізку. Щоб знайти найбільше та найменше значення неперервної функції на проміжку[a,b], необхідно обчислити значення функції в усіх її критичних точках на проміжку та на кінцях відрізку х = а, у = b.
Правило:
- Знайти похідну функції та критичні точки, що належать проміжку.
- Скласти таблицю значень функції у критичних точках та на кінцях відрізку.
- Визначити найбільше та найменше значення.
3. Розв’язування прикладних задач на максимум та мінімум
Викладений найвище метод знаходження найбільших та найменших значень функції застосовується для різноманітних задач прикладних задач.
Створюється математична модель.
- Задача моделюється функцією у з параметром х.
- Засобами математичного аналізу розв’язується, знаходиться максимум та мінімум.
- Потім інтерпретується практичний результат.
Приклад 1. Потрібно виготовити закритий циліндрічний бак місткістю V=16p » 50 м3 .. Які мають бути розміри баку (радіус R і висота Н), щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?
Розв’язання. Площа повної поверхні циліндра дорівнює
S = 2pR(R+Н). Об’єм циліндра V = pR2Н Þ
Н = V/pR2 =16p/ pR2 = 16/ R2.
Отже, S(R) = 2p(R2+16/R).
Похідна цієї функції:
S (R) = 2p (2R - 16/R2) = 4p (R- 8/R2). S ¢(R) = 0 при R3 = 8.
Похідна цієї функції:
S(R) = 2p (2R - 16/R2) = 4p (R- 8/R2). S(R) = 0 при R3 = 8.
Похідна змінює знак з «-» на «+» , S(R) при R = 2 та Н = 16/4 = 4.
Відповідь: Рівносторонній циліндр, R = 2 м , Н = 4 м ,
висота дорівнює діаметру Н = 2 R.
Приклад 3. Для стоянки машин виділили майданчик прямокутної форми, що примикає однією стороною до стіни будівлі. Майданчик обнесли з трьох сторін металевою сіткою завдовжки 200м, і площа її при цьому виявилася найбільшою. Які розміри майданчика?
Розв’язання. Позначимо дві однакові сторони майданчика за х м, тоді третя сторона майданчика буде (200-2х) м. Обчислимо площу майданчика (площа прямокутника дорівнює добутку довжини на ширину), тобто S(x) = x(200-2х)м2. Обчислимо похідну від:
S´= (200х – 2х2) ´ = 200 – 4х = 0, х = 50.
S´(49)< 0, S´(51)> 0à max S(x) при х = 50.
Отже дві однакові сторони майданчика мають довжину 50м, а третя сторона має довжину 100м. Розміри майданчика 50 х 100.
Відповідь: розміри майданчика мають бути 50х100, щоб її площа була найбільшою. Співвідношення 1:2:1.
|
|